Joseph Reichelt wurde 1985 in Burg geboren und ist in Leipzig aufgewachsen, wo er bereits vor dem Studium am Schauspielhaus erste Bühnenerfahrung sammelte. Seine Ausbildung absolvierte er am Max Reinhardt Seminar in Wien. Während seiner Studienzeit spielte er u.a. am Schlosstheater Schönbrunn den Junker Christoph von Bleichenwang in „Was ihr wollt“, die Doppelrolle Gus/Augustus in „Arkadien“ am Landestheater Niederösterreich in Kooperation mit dem Theater Baden und „Gott“ am Schauspielhaus Wien.
Im letzten Studienjahr führte ihn sein Erstengagement an das Theater Lübeck. Dort arbeitete er mit zahlreichen Regisseuren; mit Marco Štorman zum Beispiel entwickelte er den Menuchim in Hiob. Außerdem entstand sein Soloabend „Der Weg zum Glück“ von Ingrid Lausund. In seiner Wahlheimat Hamburg war er u.a. als Tod in Thees Uhlmanns „Sophia, der Tod und ich“, als Christopher Marlowe in „Shakespeare in love“ sowie als Ringo Starr in „Backbeat“ zu sehen.
Seit 2023 spielt er die Hauptrolle in „How to Date a Feminist" an den Hamburger Kammerspielen.
Als Schlagzeuger sammelt er Banderfahrung seit seinem 16. Lebensjahr, erhielt Unterricht an der Musikschule Johann Sebastian Bach und spielte bis April 2025 den Drummer Kloppi in „Bed of Roses“ in Karlsruhe, Bielfeld und Neuwied. Für Stage Entertainment stand er bei „Rocky“ in Stuttgart als Paulie auf der Bühne und an der Oper Frankfurt gastierte er in einer Inszenierung von Christof Loy.
Joseph Reichelt war 2020 zum ersten Mal auf der Kreuzgang-Bühne zu erleben. 2021 stand er in „Dracula” und „Ende gut, alles gut” auf der Bühne im Kreuzgang. 2024 verkörperte er sämtliche Gatten in „Der Besuch der alten Dame“ sowie Oberst Arbuthnot in „Mord im Orientexpress“. Im Sommer 2025 wird er als William Collins in „Stolz und Vorurteil” und als Godfrey Norton in „Sherlock Holmes - ein Skandal” zu erleben sein.